等价无穷小替换公式(等价无穷小在什么情况下加减法的时候也替换)
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2024-01-13
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1. 等价无穷小替换公式,等价无穷小在什么情况下加减法的时候也替换?
所谓的等价无穷小实质上是泰勒展式比较简单的情形,比如sinx~x,实际上就是sinx的泰勒展开到x这一项而已。1-cosx~1/2*x^2,实际上就是cosx=1-1/2*x^2+O(x^2)的变形。这样说是什么意思呢?意思就是说如果你想在加减法的时候做代替,你为了避免犯加减法在无穷小做代替时会犯得错误,你不防把后面的O(x)呀,O(x^2)呀什么的先代替进去,如果这个高阶无穷小O(*)不会影响到你计算极限的值的时候,代替是无妨的,而且泰勒展式是等式的形式出现的,这意味着计算是没有任何问题的,反过来如果这个高阶无穷小O(*)会影响到极限的值,意味着代替是失败的,不能直接代入
2. 等价无穷小替换是只能用一次吗?
可以。既然是等价的,不管用几次都是等价啊,就像平行的传递性。因为分母是最低幂次为3次,所以,分子的sinx也要展开到3次及以上。使用无穷小代换,把x^3作为截断误差全部扔掉了,但恰恰这些都是有用的,对这种加减的项次,一定要慎用无穷小等量代换!最好用泰勒展开式来做或者用洛必达法则。3. 大学高数等价无穷小的替换公式怎么推导的?
大学高等数学中,我们常常需要运用等价无穷小的替换公式来解决一些极限问题。这个公式的推导可以通过泰勒展开和极限运算的性质来实现。以下是推导的步骤:1. 假设函数f(x)在点x=a处可导,那么它的泰勒展开式为: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + R(x),其中f'(a)表示函数f在点x=a处的导数,R(x)为余项。2. 我们希望在极限运算中将函数f(x)在点x=a的附近替换为一个等价无穷小h(x),即f(x)≈h(x),以便求解极限。3. 如果我们将x-a记作h,那么公式变为: f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h + R(a+h)4. 当h→0时,上述公式成为: f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h5. 为了使等式成立,我们需要让余项R(a+h)在h→0时趋于0。如果这个条件满足,我们就可以将f(x)在点x=a处的函数值f(a)替换为h=0时的函数值f(a+h)。综上所述,等价无穷小的替换公式可以通过泰勒展开和极限运算的性质推导得出。
4. 根号下cosx怎么等价替换?
1+cosx等价无穷小替换公式:1-cosx=1-(1-2sin^2x/2)=2sin^2x/2,等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。1+cosx等价无穷小替换公式:1-cosx=1-(1-2sin^2x/2)=2sin^2x/2,等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。5. 等价无穷小替换最常用公式的使用条件?
基本条件:1.2个是等价无穷小2.乘除中部分加减法中也能代换,有条件的,条件:代换后的加减法中,前一个被代换后的数除后一个被代换后数不等于±1。
例如:可代换的:lim x ->0 2tanx-3sinx为分子除x为分母。
这个当中分子2tanx-3sinx可以代换为2x-3x,理由是2x/(-3x)=负三分之二≠±1。
不能代换的:lim x ->0 tanx-sinx为分子除x为分母。
这个当中分子tanx-sinx不可以代换为x-x,理由是x/(-x)=±1。
6. 等价无穷小能不能替换指数的无穷小?
等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不一定能随意单独代换或分别代换)。求极限时,使用等价无穷小的条件:
1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0;
2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。独立的乘积的因子若是无穷小,可以用等价的无穷小替换。例如lim(x→0) sinx*tanx/x^2,这里的sinx,tanx都可以替换,如果是lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3,分子的sinx,tanx都不能替换,可以化成lim(x→0) tanx(cosx-1)/x^3后,替换sinx与1-cosx。扩展资料:当x→0时,等价无穷小:(1)sinx~x (2)tanx~x (3)arcsinx~x (4)arctanx~x (5)1-cosx~1/2x^2 (6)a^x-1~xlna (7)e^x-1~x (8)ln(1+x)~x (9)(1+Bx)^a-1~aBx (10)[(1+x)^1/n]-1~1/nx (11)loga(1+x)~x/lna
7. 无穷大的替换公式?
公式 f(x)→0(或f(x)=0)
等价无穷小代换,只要x→∞时,函数内部是无穷小即可。比如,x→∞时,sin(1/x)~1/x。
被代换的量,在取极限的时候极限值为0;被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。
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1. 等价无穷小替换公式,等价无穷小在什么情况下加减法的时候也替换?
所谓的等价无穷小实质上是泰勒展式比较简单的情形,比如sinx~x,实际上就是sinx的泰勒展开到x这一项而已。1-cosx~1/2*x^2,实际上就是cosx=1-1/2*x^2+O(x^2)的变形。这样说是什么意思呢?意思就是说如果你想在加减法的时候做代替,你为了避免犯加减法在无穷小做代替时会犯得错误,你不防把后面的O(x)呀,O(x^2)呀什么的先代替进去,如果这个高阶无穷小O(*)不会影响到你计算极限的值的时候,代替是无妨的,而且泰勒展式是等式的形式出现的,这意味着计算是没有任何问题的,反过来如果这个高阶无穷小O(*)会影响到极限的值,意味着代替是失败的,不能直接代入
2. 等价无穷小替换是只能用一次吗?
可以。既然是等价的,不管用几次都是等价啊,就像平行的传递性。因为分母是最低幂次为3次,所以,分子的sinx也要展开到3次及以上。使用无穷小代换,把x^3作为截断误差全部扔掉了,但恰恰这些都是有用的,对这种加减的项次,一定要慎用无穷小等量代换!最好用泰勒展开式来做或者用洛必达法则。3. 大学高数等价无穷小的替换公式怎么推导的?
大学高等数学中,我们常常需要运用等价无穷小的替换公式来解决一些极限问题。这个公式的推导可以通过泰勒展开和极限运算的性质来实现。以下是推导的步骤:1. 假设函数f(x)在点x=a处可导,那么它的泰勒展开式为: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + R(x),其中f'(a)表示函数f在点x=a处的导数,R(x)为余项。2. 我们希望在极限运算中将函数f(x)在点x=a的附近替换为一个等价无穷小h(x),即f(x)≈h(x),以便求解极限。3. 如果我们将x-a记作h,那么公式变为: f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h + R(a+h)4. 当h→0时,上述公式成为: f(a+h) ≈ f(a) + f'(a)h5. 为了使等式成立,我们需要让余项R(a+h)在h→0时趋于0。如果这个条件满足,我们就可以将f(x)在点x=a处的函数值f(a)替换为h=0时的函数值f(a+h)。综上所述,等价无穷小的替换公式可以通过泰勒展开和极限运算的性质推导得出。
4. 根号下cosx怎么等价替换?
1+cosx等价无穷小替换公式:1-cosx=1-(1-2sin^2x/2)=2sin^2x/2,等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。1+cosx等价无穷小替换公式:1-cosx=1-(1-2sin^2x/2)=2sin^2x/2,等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。5. 等价无穷小替换最常用公式的使用条件?
基本条件:1.2个是等价无穷小2.乘除中部分加减法中也能代换,有条件的,条件:代换后的加减法中,前一个被代换后的数除后一个被代换后数不等于±1。
例如:可代换的:lim x ->0 2tanx-3sinx为分子除x为分母。
这个当中分子2tanx-3sinx可以代换为2x-3x,理由是2x/(-3x)=负三分之二≠±1。
不能代换的:lim x ->0 tanx-sinx为分子除x为分母。
这个当中分子tanx-sinx不可以代换为x-x,理由是x/(-x)=±1。
6. 等价无穷小能不能替换指数的无穷小?
等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不一定能随意单独代换或分别代换)。求极限时,使用等价无穷小的条件:
1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0;
2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。独立的乘积的因子若是无穷小,可以用等价的无穷小替换。例如lim(x→0) sinx*tanx/x^2,这里的sinx,tanx都可以替换,如果是lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3,分子的sinx,tanx都不能替换,可以化成lim(x→0) tanx(cosx-1)/x^3后,替换sinx与1-cosx。扩展资料:当x→0时,等价无穷小:(1)sinx~x (2)tanx~x (3)arcsinx~x (4)arctanx~x (5)1-cosx~1/2x^2 (6)a^x-1~xlna (7)e^x-1~x (8)ln(1+x)~x (9)(1+Bx)^a-1~aBx (10)[(1+x)^1/n]-1~1/nx (11)loga(1+x)~x/lna
7. 无穷大的替换公式?
公式 f(x)→0(或f(x)=0)
等价无穷小代换,只要x→∞时,函数内部是无穷小即可。比如,x→∞时,sin(1/x)~1/x。
被代换的量,在取极限的时候极限值为0;被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。
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